반전 기하 실험실

중심 O, 반지름 r인 원에 대해 O가 아닌 점 P를 반직선 OP 위의 점 P′으로 보내되, 두 거리의 곱이 반지름의 제곱이 되게 합니다.

두 점 A, P와 반전점 A′, P′에 대해 OA × OA′ = OP × OP′ = r²이므로 OA : OP′ = OP : OA′입니다. 두 삼각형은 ∠O를 공유하므로 △OAP ∽ △OP′A′ (SAS 닮음)이고, 여기서 거리 공식이 나옵니다.

P′A′ = PA × r² ÷ (OA × OP)

P를 반전원 위에 두면 P′ = P이므로 PA′ ÷ PA = r ÷ OA로 일정합니다. 반전원은 A, A′에 대한 아폴로니오스 원입니다.

원래 도형 a(x²+y²) + bx + cy + d = 0에 x = r²X/(X²+Y²), y = r²Y/(X²+Y²)를 대입하면 다음이 됩니다. 도형의 이동에서 쓴 "역변환을 대입" 원리 그대로입니다.

d(X²+Y²) + r²bX + r²cY + r⁴a = 0

a와 d의 자리가 바뀌는 것이 전부입니다. a = 0이면 직선이고, d = 0이면 원점을 지납니다. 아래에서 네 경우를 바꿔 가며 계수 표의 빨간 두 열이 서로 자리를 바꾸는 것을 확인해 보세요.

반전은 일대일대응이므로 교점이 하나이면 반전 후에도 교점이 하나입니다. 더 강하게는 두 곡선이 만나는 각이 그대로 보존되고 방향만 뒤집힙니다(등각사상). 성질 ①의 닮음에서 ∠OAP = ∠OP′A′인 것이 이 성질의 핵심입니다.

O에서 원 ω에 그은 접선의 길이가 r이면, 즉 O의 방멱이 r²이면 ω는 반전원과 직교합니다. 이때 O를 지나는 직선이 ω와 만나는 두 점 Q, Q′은 할선 정리에 의해 OQ × OQ′ = r²을 만족하므로 서로의 반전점이고, ω는 통째로 자기 자신으로 갑니다.

문제. 점 P가 직선 x = 2 위를 움직이고, 반직선 OP 위의 점 Q가 OP × OQ = 4를 만족할 때 Q의 자취를 구하시오.

1. Q(x, y)로 두고 P를 Q로 나타냅니다. P = 4/(x²+y²) · (x, y)
2. P의 x좌표가 2라는 조건에 대입합니다. 4x/(x²+y²) = 2
3. 정리하면 (x−1)² + y² = 1 (원점 제외)입니다.

이 교과 풀이가 반전 그 자체입니다. 성질 ②의 표로 보면 "O를 지나지 않는 직선 → O를 지나는 원"을 계산 전에 예상할 수 있습니다.

반전원의 중심이 O, 반지름이 r, OA = a일 때 반직선 OA 위에 OA′ = r² ÷ a인 점 A′을 잡으면, 원 위의 모든 P에서 PA′ = (r ÷ a) × PA입니다(성질 ①). 따라서 k = r ÷ a이면

k · PA + PB = PA′ + PB ≥ A′B

이고, 선분 A′B가 원과 만나면 등호가 성립합니다. 서술형에서는 "반전"이라는 말 없이 △OAP ∽ △OPA′ (SAS 닮음)만 쓰면 완전한 풀이가 됩니다.

문제. 두 원 C₁: x²+y²=2x, C₂: x²+y²=4x는 원점에서 접하고 C₁이 C₂ 안에 있다. 그 사이에 두 원 모두에 접하는 원 (x−3)²+y²=1이 있다. 이 원의 바로 위에서 C₁, C₂와 이 원에 모두 접하는 원의 반지름을 구하시오.

1. x²+y²=4에 대해 반전하면 C₁은 직선 x=2, C₂는 직선 x=1이 됩니다(성질 ②). 두 원 사이 영역은 띠 1 < x < 2가 됩니다.
2. 두 원에 접하는 원은 두 직선에 접하는 원, 즉 반지름 1/2이고 중심이 (3/2, n)인 "동전"이 됩니다(성질 ③).
3. 동전을 다시 반전하면 반지름은 2 ÷ (n² + 2)입니다. 바로 위 원은 n = 1이므로 2/3입니다.

파푸스의 정리. n번째 원은 중심의 높이가 반지름의 2n배입니다. 띠 안의 동전에서는 당연한 사실이고, 반전은 원점을 지나는 직선(여기서는 x축)을 보존하므로 이 비율이 유지됩니다.

임의의 네 점 A, B, C, D에 대해 AB·CD + AD·BC ≥ AC·BD이고, 등호는 네 점이 이 순서로 한 원 위에 있을 때 성립합니다.

1. A를 중심으로 반전하면 거리 공식으로 B′C′ = BC·k/(AB·AC) 등이 됩니다(k는 반지름의 제곱).
2. 삼각형 부등식 B′C′ + C′D′ ≥ B′D′에 대입하고 AB·AC·AD를 곱하면 끝입니다.
3. 등호는 B′, C′, D′이 한 직선 위에 있을 때이고, 성질 ②에 의해 이는 B, C, D가 A를 지나는 원 위에 있을 때입니다.

뫼비우스 변환과 리만 구

복소수로 반전은 z → r²/z̄이고, 반전 두 번이나 반전과 대칭을 합성하면 z → (az+b)/(cz+d) 꼴의 뫼비우스 변환이 나옵니다. 평면에 무한원점을 하나 더하면(리만 구) 직선은 "무한원점을 지나는 원"이 됩니다. 그러면 성질 ②는 "원은 원으로 간다"는 한 문장이 되고, 직선과 원이 서로 바뀌는 이유가 설명됩니다. 복소해석학의 등각사상 이론은 성질 ③의 연장선입니다.

반전은 교과 밖 개념이지만, 공통수학2에서 실제로 쓰이는 부분(자취, 가중 거리)은 중학교 닮음과 역변환 대입만으로 서술할 수 있습니다. "교과 풀이로 번역 가능한 대학 아이디어"의 좋은 사례입니다.